恒定函数做市商 (Constant Function Market Makers) #
本章节主要讲述了 Uniswap V2白皮书中的内容. 理解其中的数学原理能帮助你更好地构建像 Uniswap 这样的应用, 不过如果你没有完全理解本章全部内容也没关系。
正如我们在上一节中提到的那样，AMM 的构建有许多不同的方法。我们将主要关注与构建一种特定的 AMM：恒定函数做市商（有时也被称为恒定乘积做市商）。尽管名字听起来很复杂，但是它的核心数学原理只是一个非常简单的公式：
$$x * y = k$$
仅此而已，这就是 AMM.
$x$ 和 $y$ 是池子合约所拥有的两种资产的数目。$k$ 是它们的乘积，我们暂时不考虑它的实际值等于多少。
为什么只有两种资产x和y？ 每个 Uniswap 的池子仅包含两种 token。我们使用 x 和 y 来表示一个池子中的两种资产，其中 x 代表第一个 token，y 代表第二个 token。两种 token 的顺序（暂时）并不重要。
恒定函数做市商的原理是：在每次交易后，k 必须保持不变。当用户进行交易，他们通常将一种类型的token放入池子（也即他们打算卖出的token），并且将另一种类型的token移出池子（也即打算购买的token）。这笔交易会改变池子中两种资产的数量，而上述原理表示，两种资产数目的乘积必须保持不变。我们之后还会在本书中看到许多次这个原理，这就是 Uniswap 的核心机制。
交易函数 #
现在我们知道了什么是池子以及交易的原理，接下来我们写一下交易发生时的公式：
$$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = k$$
- 一个池子包含一定数量的 token0 ($x$) 和一定数量的 token1 ($y$)
- 当我们用 token0 购买 token1 的时候，一些 token0 被放入池子 ($\Delta x$)
- 这个池子将给我们一定数量的 token1 作为交换 ($\Delta y$)
- 池子也会从我们给出的 token0 中收取一定数量的手续费 ($r$)
- 池子中 token0 的数量发生了变化 ($x + r \Delta x$)， token1 的数量也发生了变化 ($y - \Delta y$)
- 二者的乘积保持不变，仍然为 $k$
我们使用 token0 和 token1 这样的表述，是为了与代码保持一致。现在，两个 token 的顺序并不重要。
简单来说，我们给了池子一定数量的 token0，然后获得了一定数量的 token1。这个池子的工作就是按照一个合理的价格，给予我们正确数量的 token1。我们可以得出以下结论：池子决定了交易的价格。
价格 #
池子里 token 的价格是如何计算的？
由于 Uniswap 不同的池子对应不同的智能合约，同一个池子里的两种 token 互为计价标准进行定价。例如：在一个 ETH/USDC 的池子里，ETH 的价格用 USDC 作为标定，而 USDC 的价格用 ETH 作为标定。假设一个 ETH 的价格是1000 USDC，那么一个 USDC 的价格就是 0.001 ETH。每一个池子都是如此，无论 token 是否为稳定币（例如，ETH/BTC 池）
在现实世界中，价格是根据供求关系来决定的，对于 AMM 当然也是如此，现在，我们先不考虑需求方，只关注供给方。
池子中 token 的价格是由 token 的供给量决定的，也即池子中拥有该 token 的资产数目。token 的价格公式如下：
$$P_x = \frac{y}{x}, \quad P_y=\frac{x}{y}$$
其中 $P_x$ 和 $P_y$ 是一个 token 相对于另一个 token 的价格
这个价格被称作 现货价格/现价， 它反映了当前的市场价。然而，交易实际成交的价格却并不是这个价格。现在我们再重新把需求方纳入考虑：
根据供求关系，需求越高，价格越高，这也是我们应当在去中心化交易中满足的性质。我们希望当需求很高的时候价格会升高，并且我们能够用池子里的资产数量来衡量需求：你希望从池子中获取某个token的数量越多，价格变动就越剧烈。我们再重新考虑上面这个公式：
$$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$
从这个公式中，我们能够推导出关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的式子，这也意味着我们能够通过交易付出的 token 数目来计算出获得的 token 数目，反之亦然：
$$\Delta y = \frac{yr\Delta x}{x + r\Delta x}$$ $$\Delta x = \frac{x \Delta y}{r(y - \Delta y)}$$
这些公式就能够让我们重新计算价格。我们能够从 $\Delta y$ 公式中求出获得 token 数量（当我们希望卖出 token 的数量为定值），并且从 $\Delta x$ 的公式中求出需要提供的 token 数量（当我们购买 token 的数量为定值）。注意到，这里的公式是资产之间的关系，同时也把交易的数量(第一个公式中的 $\Delta x$ 和第二个公式中的 $\Delta y$)加入了计算。这是同时考虑了供求双方的价格函数。事实上，我们甚至并不需要去计算价格！（因为我们直接计算出了交易的结果）
下面是从交易函数推导出上述价格函数的过程: $$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$
$$y - \Delta y = \frac{xy}{x + r\Delta x}$$
$$-\Delta y = \frac{xy}{x + r\Delta x} - y$$
$$-\Delta y = \frac{xy - y({x + r\Delta x})}{x + r\Delta x}$$
$$-\Delta y = \frac{xy - xy - y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$
$$-\Delta y = \frac{- y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$
$$\Delta y = \frac{y r \Delta x}{x + r\Delta x}$$ 以及: $$(x + r\Delta x)(y - \Delta y) = xy$$
$$x + r\Delta x = \frac{xy}{y - \Delta y}$$
$$r\Delta x = \frac{xy}{y - \Delta y} - x$$
$$r\Delta x = \frac{xy - x(y - \Delta y)}{y - \Delta y}$$
$$r\Delta x = \frac{xy - xy + x \Delta y}{y - \Delta y}$$
$$r\Delta x = \frac{x \Delta y}{y - \Delta y}$$
$$\Delta x = \frac{x \Delta y}{r(y - \Delta y)}$$
曲线 #
上面的数学计算可能有些抽象和枯燥，下面我们来把恒定乘积函数进行可视化来更好地理解其工作原理
恒定成绩函数的图像为二次双曲线：
横纵轴分别表示池子中两种代币的数量。每一笔交易的起始点都是曲线上与当前两种代币比例相对应的点。为了计算交易获得的 token 数量，我们需要找到曲线上的一个新的点，其横坐标值为 $x+\Delta x$，也即池子中现在 token0 的数量加上我们卖出的数量。y 轴上的变化量就是我们将会获得的 token1 的数量。
下面我们来看一个更加具体的例子:
- 紫色的线是公式代表的双曲线，横纵坐标轴代表池子中代币资产的数目（注意到在一开始，两种代币的数量相等）
- 起始价格为 1
- 我们卖出 200 个 token0，如果我们仅以现货价格计算，我们希望获得 200 个 token1。
- 然而，交易实际发生的价格是 0.666，所以我们仅仅获得了 133.333 个 token1！
这个例子来源于the Desmos chart，作者是Dan Robinson, Uniswap 的创始人之一。 为了能够更直观地理解它是如何工作的，你可以尝试自己构建不同的场景并且在图上画出来。试一试不同的资产数目，观察当 $\Delta x$ 远小于 $x$ 时获得代币的数量。
一个很传奇的故事是，Uniswap 就是在 Desmos 中发明出来的.
你或许在想，为什么要用这样的一个曲线？这个曲线看起来好像是在惩罚大额交易者。事实上，的确就是如此，并且这也是一个非常好的性质！供求关系告诉我们，当需求很高的时候（假设供给保持不变），价格也同样很高；当需求低的时候，价格也仍然很低。这正是市场的工作原理。并且很神奇地是，这样一个恒定乘积函数恰好实现了这个机制！需求就是你希望购买 token 的数量，而供给就是池子中的资产。当你希望购买的数量占池子的一个很大比例，价格就会比你购买小数量时更高。这样一个简单的公式，恰恰保证了这么一个强大的机制。
尽管 Uniswap 并不计算交易价格，我们仍然能够从曲线上看到它。事实上，在一笔交易中我们有很多个价格：
- 在交易前，有一个现货价格。这个价格等于池子中两种资产的比例，$y/x$ 或者 $x/y$，取决于你交易的方向。这个价格也是起始点切线的斜率。
- 在交易后，有一个新的现货价格，在曲线上另一个不同的点。这个价格是新的点的切线斜率。
- 这个交易的实际发生价格，是连接新旧点的这条线的斜率。
这就是 Uniswap 里用到的全部数学！
好吧，事实上这只是 Uniswap V2 的数学原理，而我们将要学习的是 Uniswap V3。所以在下一章，我们将会看到 Uniswap V3 的机制有什么不同。